EL ARCO

El Arco es un recurso estructural usado desde la antigüedad en muchas construcciones. El arco transmite las cargas hacia los laterales de los huecos a través de la disposición geométrica de sus elementos, más que por la resistencia de los mismos.   También se llama así a las estructuras construidas actualmente con forma arqueada, aunque sean de una sola pieza, y que, en sus apoyos, funcionan del mismo modo que los construidos con dovelas.

La estructura de arco hace que todos sus elementos trabajen solo a la compresión.  Estos esfuerzos son transmitidas a los soportes, situados en sus extremos, en forma de empujes laterales. La diferencia con los Dinteles es que éstos trabajan a la flexión y no generan empujes laterales.

Arco  romano de Medinaceli. Siglo I d. C.

COMPONENTES DE LOS ARCOS

Tradicionalmente se ha puesto denominación a ciertos elementos constituyentes de los arcos. En el caso de los arcos construidos con elementos de fábrica existen algunas denominaciones empleadas en la mayoría de los tratados de construcción.

Hasta la aparición en el siglo XX de los arcos contínuos. Los arcos estaban compuestos de diversos elementos. Algunos de ellos poseían denominaciones propias que se han ido comunicando en los diversos tratados de construcción. Los elementos principales que componen un arco de piedra son:

• Las dovelas, son las piezas en forma de cuña que componen el arco y se caracterizan por su disposición radial. Las dovelas absorben los esfuerzos de compresión en sus dos caras opuestas, por las otras dos laterales.  Las dovelas de los extremos y que reciben el peso del arco, se llaman salmer (es la primera dovela del arranque). La parte interior de una dovela se llama intradós y el lomo que no se ve por estar dentro de la construcción, trasdós. El despiece de dovelas es la manera como están dispuestas las dovelas en relación con su centro. Cuando las dovelas siguen los radios de un mismo centro se llama arco radial aunque ese centro no siempre coincida con el centro del arco: es el arco visigótico. Cuando las dovelas se colocan horizontales hasta cierta altura se llama arco enjarjado: es el arco mozárabe.

• La clave (a veces denominada también como corona o dovela central) es la dovela del centro, que cierra el arco. Es la última que se coloca en la cimbra, completando el proceso constructivo del arco. La clave suele ser la dovela de mayor tamaño, y para proporcionar estabilidad al arco es la más pesada. Las dos dovelas adyacentes a la clave se denominan contraclaves.

• La imposta (o arranque): Es una moldura o saledizo sobre la cual se asienta un arco o una bóveda. A veces transcurre horizontalmente por la fachada o los muros del edificio, separando las diferentes plantas. Al conjunto de dovelas desde el arranque hasta la clave se le denomina riñón.

• La enjuta (o albanega) es la parte de fábrica que cubre el extradós del arco (es decir descansa sobre los riñones del arco), por regla general se denomina a la fábrica entre dos arcadas sucesivas.

• La Rosca es faja de material de fábrica que, sola o con otras concéntricas, forma un arco o bóveda. Se considera rosca a la porción de material constructivo entre el intradós y extradós del arco.

Arcada en forma de contrafuerte representada por Eugène Viollet-le-Duc 

  En ocasiones el arco se combina entre sí como un elemento constructivo de refuerzo 

DIMENSIONES

En muchos casos, el diseño de arcos necesita de un conjunto de definiciones que permite describir las distancias relativas entre elementos. Además en la descripción de los arcos de piedra se usa la siguiente nomenclatura en la defición de ciertas partes de los arcos:

• Centro. Puede estar por encima o por debajo de la imposta. Puede haber más de un centro.
• Flecha. Altura del arco que se mide desde la línea en que arranca hasta la clave.
• Luz. Anchura de un arco.
• Semiluz. Mitad de la anchura de un arco.
• Esbeltez. Relación entre la flecha y la luz. Se expresa generalmente como fracción (1/2, 1/4, etc.)
• Vértice. Punto más alto del arco.
• Línea de arranque. Punto de transición entre la jamba o imposta y el arco.

Durante el periodo histórico que va desde la edad media hasta finalizado el periodo de arquitectura gótica se han empleado estas dimensiones en los diseños de arcos. En muchos casos por mantener una proporción estética, en otros como una especie de regla empírica que permitía el diseño de los mismos, así como la transmisión del conocimiento en sucesivas generaciones de arquitectos.

La robustez del muro donde están los estribos será mayor cuanto mas rebajado sea el arco, porque al disminuir la altura del arco (llamado flecha) respecto a su ancho, llamado luz, aumentan los empujes sobre los arranques del arco.

La forma que adoptan los arcos depende de la relación entre la flecha y la luz, puede extenderse desde el arco llano y con fuerza portante mínima, denominado arco adintelado, hasta la forma más favorable, que la de los arcos parabólicos (la directriz es la línea de la parábola) que no provocan esfuerzos laterales en los estribos y admiten muchas formas intermedias.

 

EL NUMERO DE ORO EN EL ARTE

El número de oro no es sólo un instrumento matemático, también puede ser un arma creativa en manos de los mejores arquitectos y artístas de la historia de la humanidad.

El çaureo, utilizado desde la época de los egipcios para la construcción de edificios, fue explotado por los griegos al máximo, usándolo en todas las facetas del arte. Más adelante, la evolución de la geometría contribuyó al desarrollo técnico y científico de la humanidad; además de ámpliar los horizontes creativos de pintores, escultores y diseñadores.

Número de oro y Arquitectura

El primer uso conocido del número áureo en la construcción aparece en la pirámide de Keops, que data del 2600 a.C. Los egipcios levantaban sus tumbas, mastabas y pirámides sobre todo teniendo en cuenta las relaciones geométricas que se observan en volúmenes matemáticos.
Esta pirámide tiene cada una de sus caras formadas por dos medios triángulos áureos: la más aparente, aunque no la única, relación armónica identificable en el análisis de las proporciones de este monumento funerario en apariencia simple.

Otro ejemplo vendría dado por el Partenón ateniense: su alzado es el paradigma de rectángulo áureo en el Arte. El Partenón fue mandado construir por Pericles, en honor de la diosa Atenea. Su realización fue encargada a los arquitectos Calícrates e Ictinios bajo la supervisión artística del maestro Fidias entre los años 447 y 432 a.C.
Fidias, utilizó en su construcción su conocimiento de la belleza y armonía inherentes al número áureo para fijar las dimensiones de todo el edificio y situar los detalles escultóricos.
En su diseño los arquitectos debieron de realizar numerosos estudios y maquetas como se desprende del hecho de que cada elemento debió ser concebido individualmente en razón de las correcciones ópticas que eliminan las aberraciones que produce la perspectiva.

El número áureo se denota con la letra griega "Fi" ,, en honor a Fidias.

 Partenón. Fidias

Y, del mismo modo, el Templo de Ceres, en Paestum (460 a.C.), tiene su fachada construida siguiendo un sistema de triángulos áureos, al igual que los mayores templos griegos, relacionados, sobre todo, con el orden dórico. Éste incorpora en sus columnas un capitel puramente geométrico con tres molduras: collarino, equino y ábaco. Sobre ella descansa el entablamento, también con tres partes: arquitrabe, friso y cornisa. Cuenta la leyenda que se tomó la medida del pie de un hombre, sexta parte de su altura total, y se aplicó esta proporción a la edificación de una columna, por lo que en ella se aprecian las proporciones, fuerza y belleza del cuerpo masculino.

Otra edificación de interés vendría dada por la Tumba Rupestre de Mira, en Asia Menor. Ésta basa su construcción en un pentágono áureo en el que el cociente de la diagonal y el lado de dicho pentágono es el número áureo.

Número de Oro y Arte

En Pintura y Escultura también tuvo su apogeo el número áureo. En la primera, destaca el cuadro de Dalí Leda atómica, pintado en 1949; sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador.

En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico.

Leda Atómica. Dalí, 1949

En escultura hay que destacar el famoso Apolo de Belvedere. Los lados del rectángulo en el cual está idealmente inscrita la estatua del Apolo de Belvedere están relacionados según la sección áurea, es decir, con una proporción de 1:1,618.

En el siglo pasado, las construcciones se caracterizan en cuanto a su clasificación social; no obstante, se abandona la decoración ornamental en la búsqueda de líneas y planos donde se juega con la estética, la proporción y los volúmenes, siendo la geometría formal el más importante y predominante elemento estético.

Es de destacar la primera fase del Cubismo, creada por la fusión del primitivismo de Picasso con las formas post-Cezanne de Braque, simplifica las formas en bloques de monumentalidad aligerada por la ambigüedad de los contornos y la evitación del escorzo que hubiera dado a los objetos una existencia tridimensional.

Le Corbusier y el modulor

También fue importante la figura de Le Corbusier, el cual se interesó de modo especial en las proporciones del cuerpo humano. Quería presentar una medida humana como alternativa al metro -la millonésima parte del cuadrante terrestre-, introducido por Napoleón. El resultado fue “el modulor”, un sistema de diseño basado en la medida de 113 cm. (la altura del ombligo medida desde el suelo) y en una proporción la sección áurea.

De esta manera una ventana estará a 113 cm. de altura, dividiéndola con la sección áurea, se obtienen 70 y 43 cm., las altura de una mesa y de una silla. Multiplicándose por dos, se obtienen 226 cm. la altura de la habitación, como un hombre con el brazo levantado. Y así sucesivamente.

  

El modulor consiste en dos escalas, la roja y la azul. Las dimensiones de la escala azul son el doble de la escala roja, y las divisiones de cada escala se basan en la proporción áurea. Por tanto el modulor no es solamente un instrumento de proporción arquitectónica, sino también un medio de asegurar la repetición de formas similares, como las diferentes formas que pueden hallarse en un rectángulo, gracias a unas líneas transversales horizontales y verticales.

La unidad de longitud de cualquier escala tiene su importancia, y la del modulor se basa en el cuerpo humano. Otro módulo usado por Le Corbusier es el del hombre con el brazo levantado por encima de la cabeza. Estos módulos se usaron con bastante éxito en el diseño de muebles, además de edificios.

El Número de Oro se ha encontrado presente desde las impresionantes construcciones de nuestros antepasados hasta las grandes obras de Arte de nuestro tiempo: la importancia de la proporción áurea en la Historia del Arte queda más que demostrada; y por tanto, vigente en el ser humano como parte de su esencia.

LA SECCION AUREA

Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza. Puede hallarse en elementos arquitectonicos, en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.

Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología.

Una sección áurea es una división en dos de un segmento según proporciones dadas por el número áureo. La longitud total a+b es al segmento más largo a como a es al segmento más corto b.

El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides (c. 300-265 a. C.), quién lo definió de la siguiente manera:  Se dice que una línea recta está dividida entre el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor.  (Euclides. Los Elementos)

Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros, es decir es irracional.

  

Euclides obtiene el rectángulo áureo AEFD a partir del cuadrado ABCD. El rectángulo BEFC es asimismo áureo.

   

Generación de un rectángulo áureo a partir de otro.

Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido como el teorema de Ptolomeo, el cual permite trazar un pentágono regular mediante regla y compás. Aplicando este teorema, se forma un cuadrilátero al quitar uno de los vértices del pentágono, Si las diagonales y la base mayor miden b, y los lados y la base menor miden a, resulta que b² = a² + ab lo que implica:

 

 

 

Se puede calcular el número áureo usando el teorema de Ptolomeo en un pentágono regular.

LUCA PACIOLLI: LA DIVINA PROPORCION

La Geometría tiene dos grandes tesoros: uno el Teorema de Pitágoras, el otro es la división de una línea en una proporción extrema y una media. 

Kepler

Luca Pacioli (1450-1514) originario de Borgo San Sepolcro fue teólogo franciscano que enseñó matemáticas en varias ciudades italianas y mantuvo una gran amistad con Leonardo Da Vinci.
En 1509 se imprime en Venecia "La Divina proporción" ilustrada por Leonardo da Vinci. Esta obra contiene una parte principal dedicada a las propiedades de la proporción seguida de un tratado de arquitectura.
En ella se estudian los polígonos y poliedros regulares y se defiende la tesis de que el cuerpo humano contiene en microcosmos la fórmula de la belleza de todas las cosas.

En la imagen puedes ver a Luca Pacioli. El volumen abierto que señala con su mano podría ser el de Elementos de Euclides, a juzgar por el gráfico que aparece en el pizarrín. Observa el extraño poliedro transparente que aparece a la izquierda medio lleno de agua.

Una de las ilustraciones más conocidas de "La Divina proporción" es el esquema de las proporciones del cuerpo humano. El dibujo ejemplifica las proporciones ideales del hombre propuestas dieciséis siglos antes por el arquitecto romano Vitrubio. Un ejemplo: la altura del hombre perfecto y la de su ombligo deben estar en proporción áurea.

Al lado tienes una reproducción del hombre de Vitrubio, en la que puedes buscar tú más relaciones áureas. Si colocamos la punta del compás en el ombligo de un hombre y tomamos como radio la distancia a los pies juntos, al abrir y extender brazos y pies, tocaran la circunferencia obtenida.

Así mismo, es posible trazar un cuadrado que encierre al cuerpo humano, ya que su altura coincide con la distancia entre las manos extendidas.

 

En la figura la proporción entre el segmento rojo y el azul es siempre igual al número de oro. Mueve con el ratón los extremos del segmento para obtener nuevas relaciones áureas.

Observa algunos de los dibujos de poliedros realizados por Leonardo, para el libro de La Divina proporción. Observa la diferencia entre el cuerpo "sólido" y el cuerpo "vacío".
 

    

DUODECEDRON ABSCISUS ELEVATUS

   

 DUODECEDRON ELEVATUS

VIGINTISEX BASIUM ELEVATUS

   

EXACEDRON ABSCISUS ELEVATUS

    

DUODECEDRON PLANUS

  

YCOCEDRON ELEVATUS